اثبت ان جذر 2 ليس عدد ناطق؟

العدد جدر 2 عدد اصم اي عدد غير ناطق وللبرهان على صحه هدا القول يجب البرهان بما يسمى
برهان الخلف
اي نفرض ان العدد جدر 2 عدد ناطق …….الخ
نفرض جذر 2 عدد ناطق
بما ان الجدر 2 عدد ناطق يعني جذر 2 =p/q
بحيث pينتمي الىzو الكسر p/q غير قابل للاختزال وq ينتمي الى Z
جذر 2 مربع=(p/q) مربع
فنجد q مربع / p مربع
اذن 2*q مربع= pمربع

p مربع زوجي اذن pعدد زوجي ( لان مربع عدد زوجي هو عدد زوجي )
لنعتبر k تنتمي الى المجموعةZ اذن 2k = p نسميها ………1
و مربع p = 2qمربع نسميها …..2
اذن من 1 و 2 نستنتج ان مربع (2k) =مربع 2q
اذن مربع2q= مربع4k
نختزل 2 على 4 فتصبح مربع2q=مربع2k
او مربع 2k= مربع q

يعني ان q مربع عدد زوجي اذن q زوجي (نفس التعبير السابق )
اذن نستنتج من هذه الحلول ان p و q عددان زوجيان
فان p/q كسر قابل للاختزال لان p و q عددان زوجيان
نستنتج ان p/q كسر قابل للاختزال و هذا تناقض رياضي مع الفرضية ان الجذر 2 عدد اصم و هو المطلوب